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线性代数的本质 (笔记 00) 概括


视频来自于B站.大学课堂重点是讲解怎么计算,矩阵推出的定理.这个视频着重点是矩阵究竟意味着什么. 有能力把一个复杂的东西抓住核心讲解出来的,这是我及其敬佩的能力之一.这篇文章我把认为是核心的点摘录下来.这文章断断续续写了半个月,发现篇幅太长,于是又拆分了
  • [数学对于计算机人员的意义](# 数学对于计算机人员的意义)
  • [视频提到的书籍和工具](# 视频提到的书籍和工具)
  • [学习总结](# 学习总结)
    • [假设在一个静止的空间,向量会是怎么样子的](# 假设在一个静止的空间向量会是怎么样子的)
    • [当空间本身也在变换,向量会怎么被影响](# 当空间本身也在变换向量会怎么被影响)
      • [一种特殊的情况:空间变换,有些向量可能 “保持原样”](# 一种特殊的情况空间变换有些向量可能保持原样)
      • [变换后带来的一些问题](# 变换后带来的一些问题)
    • [另一种视角:不同基准的空间如何 “沟通”](# 另一种视角 - 不同基准的空间如何沟通)
  • [名词学习](# 名词学习)

    数学对于计算机人员的意义

big bang 中 Sheldony 眼中的工程师 Howard 是这样:

工程师首先要具备的是实现工程能力。虽然我们的工程是作用在看不见的二进制世界里,但它确是实实在在地在影响这我们这个物质世界。工程能力我还在修炼的道路,但我能看到,随着前方的深入,我强化的会是我的抽象能力。不断的抽象出来,在代码和代码发生作用的世界不断转换,抽象的一种尽头可能就是数学。这是我的一种看法.

视频提到的书籍和工具

Linear Algebra Done Right

作者使用的工具包:manim

B 站视频资源

学习总结

我觉得整个线性代数其实是在研究下面几个问题

假设在一个静止的空间,向量会是怎么样子的

向量是啥?这里有两种学科的视角:

  • 物理学生:空间中 * 特定方向 * 和 * 特定长度 * 的箭头

  • 计算机学生:有序的数字列表

区别在于:

在物理学生眼里,箭头可以坐落在空间任意一个位置。对于计算机学生的视角,有序的数字列表意味着我们默认了一个原点作为列表的起点.

为什么这会造成区别?

我们可以想象我们是漂浮在外太空的行星,当你不关心 (或者不确定) 空间的起始位置时,你只能通过相对位置来理解你周围的事物。所以为了方便描述,我们人为地假定了 * 原点 * 和 * 基向量 * 的存在。从原点出发,我们会得到一个行进的方向,运动需要一个单位。这是向量的一种理解方式.

对于向量的两种基本运算:

  1. 叠加性

  2. 乘法 (伸缩).

向量的运算基本就是围绕着这两个基本运算来的.

我上面唠叨了那么多,做研究的不像是写文章,他们不需那么多 * 背景知识 *, 因为他们其实已经对一些 * 知识 * 形成一种 * 共识 *.

例如数学家会直接用这样的公式来描述 向量:

![](https://s3.amazonaws.com/nemolaw/11 - 抽象向量空间 - 0124.jpg)

共识可以提高交换的效率,有这种味道吧

当空间本身也在变换,向量会怎么被影响

向量的运算,研究的是向量本身在它所处空间的变换. ** 这时候,我们不禁提出疑问:要是向量存在的基础:它所在的空间发生变化了,会怎么影响它自身的存在?**

但提出这个问题的时候,研究的方向就有了一个分支,其中一个就是线性代数.

** 线性代数本质来说就是研究空间的线性变换,而空间的线性变换的过程,可以通过一个矩阵来描述 ** . 这句话很绕很难理解,尤其对还没看过视频的同学。为什么空间的线性变换就可以使用一个矩阵来描述?
我的理解是,矩阵只是一个载体,它向我们传递了空间是如何变换的。思路是这样的:

空间变换 –> 我们需要描述变化前,变化后的空间 –> 因为是线性变换 (有叠加性) –> 所以要是能确定某个向量变化过程,那我们就能以此描述整个空间的变换 –> 而矩阵可以记录基向量变换后的位置

ps : 按照我上面的推论,描述三维空间变换的应该是一个 3x3 的方阵,分别对应 i,j,k 三个坐标轴的变换。当实际中,我们会看到行列不等的矩阵,因为那是一种特殊的空间变换:空间被压缩了.

所以,线性代数本身就是一个载体,研究空间的工具。我们通常只看到一堆密密麻麻的数字,但却不知道它实际的内涵。这也是我从视频中最大的收获.

Linear algebra gives the data analyst a nice way to conceptualize many lists of numbers in a visual way,which can seriously clarify patterns in data ,and give a global vies of what certain operations do . And on the flip side, it gives people like physicists and computer graphics programmers a language to describe space and the manipulation of space using numbers that can be crunched and run through a computer .

线性代数为数据分析提供了一条将大量数据列表概念化,可视化的渠道,它让数据模式变得非常清晰,并让你大致了解特定运算的意义。另一方面,线性代数给物理学家和计算机图形程序员提供了一种语言,让他们能通过计算机能处理的数
字来描述并操纵空间

一种特殊的情况:空间变换,有些向量可能 “保持原样”

第一个能想到的就是 ** 原点 **. 但我们当然不会就此满足

对于数学家,他们也没有那么啰嗦,一个公式描述这样的一个特性:

1
2
3
 向量ℳ 在空间变换 F 的作用下,输出结果仍然是ℳ. 这是一个有个性的,有点拽的向量.

F (ℳ) = ℳ

当然,这里的保持原样不一定要是一模一样,我们放宽条件,可以拉伸,也可以反方向,但输出结果的方向不能改变。于是乎有:

1
F (ℳ) = kℳ

这样的一种形式就出现了 特征值和特征向量这两个概念。或者说,在特定空间变换 F 下,它对应的特征值和特征向量

那这样的能保持自我的向量有什么作用呢?在空间上直观来说:这个向量就是二维空间的对称轴,三维空间的旋转轴。随着空间的变换能保持自身的不变,我们知道,原点也是具有这个特质的。所以特征向量可以认为是具有原点性质的特殊向量。要是你愿意,它成为你新变换后的原点.get 到点了么?就是不同视角下两个等价的东西,当然,不是每个空间变换都有旋转轴,对应的术语是:不是每个矩阵都有对应的特征向量.

变换后带来的一些问题

下面这些概念,都是为了研究空间变换后带来的一些问题,下面我不希望你像是在看概念一样,你应该去想象这些描述。为什么要有这些概念,还能有哪些概念,?

空间变换结果,使得原来单位面积 (单位体积) 的变化比例,这个叫做 ** 行列式 **

我们刚刚提到,有一些空间的变换,它是能够把空间压缩的,压缩成一个面,一条直线,甚至一个点.

  1. 描述变换前后是否发生压缩,我们可以计算行列式的值是否等于 0 (想想为什么)
  2. 当我们想知道,变换之后空间的维度,我们可以计算 “矩阵的秩”

有变换就会有 “复原”, 这个叫做 ** 矩阵的逆 **.

另一种视角:不同基准的空间如何 “沟通”

当我们选择了一个原点作为我们的参考系,必然有其他不同的人选择了不同的参考系。这就带来了一个问题,我们要怎么理解别人空间的变换?

因为我们基准是我们人为规定的,就像自然语言,你要如何向英国人描述 “鸡蛋” 这个词?对方不知道 “鸡蛋”, 你不知道 “egg” , 但你们可以有翻译。例如,画一个 🥚.

  • 基变换 * 描述的就是这样一种场景.

名词学习

  • linear algebra 线性代数

  • vector 向量

  • fundamental operations 基本运算

  • vector addition 向量加

  • scalar multiplication 向量数乘

  • Scaling 缩放

  • Scalars 标量

  • linear transformations 线性变换

  • composition of two separate transformations 两个独立变换地 “复合变换”

  • the determinant of a transformation 线性变换的行列式

  • rank 秩

  • duality 对偶性

  • change of basis 基变换

最后附上

[](https://s3.amazonaws.com/nemolaw/08p2 - 以线性变换的眼光看叉积 - 0075.jpg)

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