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线性代数的本质 (笔记 01) 向量


关于向量(vector), 向量的线性组合(linear combination),向量张成的空间(span),基(basis)
  • [前言](# 前言)
  • [向量](# 向量)
  • [线性组合,张成的空间与基](# 线性组合张成的空间与基)

    前言

视频目的

本课程的视频不能让你掌握线性代数这门学科,它希望让你对这一门学科有一个直观的几何认识.

向量

![](https://s3.amazonaws.com/nemolaw/11 - 抽象向量空间 - 0102.jpg)

[wiki: 向量](https://zh.wikipedia.org/zh-hans/% E5%90%91% E9%87%8F)

  1. 定义
  • 物理学生:空间中 * 特定方向 * 和 * 特定长度 * 的箭头

    • 计算机学生:有序的数字列表

作者对向量定义是:符合向量加法和向量数乘的就是向量。这有点 [循环论证](https://zh.wikipedia.org/zh/ 循環論證) 的味道。但这只是为了方便入门.

![](https://s3.amazonaws.com/nemolaw/01 - 向量究竟是什么?-0001.png)

  1. 基本属性

向量的加:具有合成效果

向量的乘:能沿着自身原来的方向 (或者反方向), 进行拉伸或者收缩

线性组合,张成的空间与基

![](https://s3.amazonaws.com/nemolaw/02 - 线性组合,张成的空间与基.gif)

[wiki: Linear combination](https://zh.wikipedia.org/wiki/% E7% BA% BF% E6%80% A7% E7% BB%84% E5%90%88)

[wiki:linear span](https://zh.wikipedia.org/wiki/% E7% BA% BF% E6%80% A7% E7%94%9F% E6%88%90% E7% A9% BA% E9%97% B4)

[wiki: basis ](https://zh.wikipedia.org/zh-hans/ 基 _(線性代數))

主要有三个概念:

  1. linear combination : 线性组合
  • 向量之间的一种组合方式,就像自然数的加法.
  1. span : 向量张成的空间
  • the span of two vector is the set of all their linear combination .

  • 两个向量线性组合的结果还是向量。而两个自由伸缩的向量线性组合的结果将是一个向量集合。这种向量集称之为 向量张成的空间

  • 给定两个不再同一个方向的 vector (线性无关), 它们各自通过伸缩合成的向量组,将会覆盖整个二维空间.

  1. basis : 基
  • The basis of a vector space is a set of linearly independent vector that span the full space

向量空间的一组 * 基 * 是 * 张成 * 该空间的一个 * 线性无关 * 向量集

  • 构成同一个空间的 span , 理论上是可以有无数多组的.basic 的存在只是我们为了研究方便自定义的。认为所有的向量都是由这个 basic 线性组合成.
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