视频来自于B站.大学课堂重点是讲解怎么计算,矩阵推出的定理.这个视频着重点是矩阵究竟意味着什么. 有能力把一个复杂的东西抓住核心讲解出来的,这是我及其敬佩的能力之一.这篇文章我把认为是核心的点摘录下来.这文章断断续续写了半个月,发现篇幅太长,于是又拆分了
- 数学对于计算机人员的意义
- 视频提到的书籍和工具
- 学习总结
- 名词学习
数学对于计算机人员的意义
big bang 中Sheldony 眼中的工程师 Howard 是这样:
工程师首先要具备的是实现工程能力.虽然我们的工程是作用在看不见的二进制世界里,但它确是实实在在地在影响这我们这个物质世界. 工程能力我还在修炼的道路,但我能看到,随着前方的深入,我强化的会是我的抽象能力.不断的抽象出来, 在代码和代码发生作用的世界不断转换, 抽象的一种尽头可能就是数学.这是我的一种看法.
视频提到的书籍和工具
学习总结
我觉得整个线性代数其实是在研究下面几个问题
假设在一个静止的空间,向量会是怎么样子的
向量是啥? 这里有两种学科的视角:
物理学生: 空间中特定方向和特定长度的箭头
计算机学生: 有序的数字列表
区别在于:
在物理学生眼里, 箭头可以坐落在空间任意一个位置. 对于计算机学生的视角, 有序的数字列表意味着我们默认了一个原点作为列表的起点.
为什么这会造成区别?
我们可以想象我们是漂浮在外太空的行星,当你不关心(或者不确定)空间的起始位置时,你只能通过相对位置来理解你周围的事物.所以为了方便描述, 我们人为地假定了原点和基向量 的存在.从原点出发,我们会得到一个行进的方向,运动需要一个单位. 这是向量的一种理解方式.
对于向量的两种基本运算:
叠加性
乘法(伸缩).
向量的运算基本就是围绕着这两个基本运算来的.
我上面唠叨了那么多,做研究的不像是写文章,他们不需那么多背景知识,因为他们其实已经对一些知识形成一种共识.
例如数学家会直接用这样的公式来描述 向量:
共识可以提高交换的效率,有这种味道吧
当空间本身也在变换,向量会怎么被影响
向量的运算,研究的是向量本身在它所处空间的变换. *这时候,我们不禁提出疑问: 要是向量存在的基础: 它所在的空间发生变化了, 会怎么影响它自身的存在? *
但提出这个问题的时候,研究的方向就有了一个分支, 其中一个就是线性代数.
** 线性代数本质来说就是研究空间的线性变换,而空间的线性变换的过程, 可以通过一个矩阵来描述** . 这句话很绕很难理解, 尤其对还没看过视频的同学.为什么空间的线性变换就可以使用一个矩阵来描述?
我的理解是, 矩阵只是一个载体,它向我们传递了空间是如何变换的.思路是这样的:
空间变换–> 我们需要描述变化前,变化后的空间–>因为是线性变换(有叠加性) –>所以要是能确定某个向量变化过程,那我们就能以此描述整个空间的变换 –> 而矩阵可以记录基向量变换后的位置
ps :按照我上面的推论, 描述三维空间变换的应该是一个3x3的方阵,分别对应i,j,k 三个坐标轴的变换. 当实际中,我们会看到行列不等的矩阵,因为那是一种特殊的空间变换:空间被压缩了.
所以,线性代数本身就是一个载体,研究空间的工具.我们通常只看到一堆密密麻麻的数字,但却不知道它实际的内涵.这也是我从视频中最大的收获.
Linear algebra gives the data analyst a nice way to conceptualize many lists of numbers in a visual way,which can seriously clarify patterns in data ,and give a global vies of what certain operations do . And on the flip side, it gives people like physicists and computer graphics programmers a language to describe space and the manipulation of space using numbers that can be crunched and run through a computer .
线性代数为数据分析提供了一条将大量数据列表概念化, 可视化的渠道, 它让数据模式变得非常清晰,并让你大致了解特定运算的意义. 另一方面,线性代数给物理学家和计算机图形程序员提供了一种语言,让他们能通过计算机能处理的数
字来描述并操纵空间
一种特殊的情况:空间变换,有些向量可能”保持原样”
第一个能想到的就是 原点. 但我们当然不会就此满足
对于数学家, 他们也没有那么啰嗦, 一个公式描述这样的一个特性:
1 | 向量ℳ 在空间变换F的作用下,输出结果仍然是ℳ.这是一个有个性的,有点拽的向量. |
当然,这里的保持原样不一定要是一模一样,我们放宽条件,可以拉伸,也可以反方向, 但输出结果的方向不能改变.于是乎有:
1 | F(ℳ) = kℳ |
这样的一种形式就出现了 特征值和特征向量这两个概念.或者说,在特定空间变换F下, 它对应的特征值和特征向量
那这样的能保持自我的向量有什么作用呢? 在空间上直观来说: 这个向量就是二维空间的对称轴, 三维空间的旋转轴. 随着空间的变换能保持自身的不变, 我们知道,原点也是具有这个特质的. 所以特征向量可以认为是具有原点性质的特殊向量.要是你愿意,它成为你新变换后的原点.get 到点了么? 就是不同视角下两个等价的东西, 当然,不是每个空间变换都有旋转轴,对应的术语是: 不是每个矩阵都有对应的特征向量.
变换后带来的一些问题
下面这些概念,都是为了研究空间变换后带来的一些问题, 下面我不希望你像是在看概念一样,你应该去想象这些描述.为什么要有这些概念,还能有哪些概念, ?
空间变换结果, 使得原来单位面积(单位体积)的变化比例, 这个叫做** 行列式**
我们刚刚提到,有一些空间的变换, 它是能够把空间压缩的,压缩成一个面,一条直线,甚至一个点.
- 描述变换前后是否发生压缩, 我们可以计算行列式的值是否等于0 (想想为什么)
- 当我们想知道,变换之后空间的维度, 我们可以计算 “矩阵的秩”
有变换就会有”复原”, 这个叫做 矩阵的逆.
另一种视角: 不同基准的空间如何”沟通”
当我们选择了一个原点作为我们的参考系,必然有其他不同的人选择了不同的参考系. 这就带来了一个问题, 我们要怎么理解别人空间的变换?
因为我们基准是我们人为规定的,就像自然语言,你要如何向英国人描述”鸡蛋”这个词? 对方不知道”鸡蛋”, 你不知道”egg” ,但你们可以有翻译.例如,画一个 🥚.
基变换 描述的就是这样一种场景.
名词学习
linear algebra 线性代数
vector 向量
fundamental operations 基本运算
vector addition 向量加
scalar multiplication 向量数乘
Scaling 缩放
Scalars 标量
linear transformations 线性变换
composition of two separate transformations 两个独立变换地”复合变换”
the determinant of a transformation 线性变换的行列式
rank 秩
duality 对偶性
change of basis 基变换
最后附上
